二分图的相关性质

二分图的定义

二分图是指将图中所有点分为两个集合，任意一条边对应的两个点都不在同一个集合中。

二分图的判定

判定一个图是否为二分图，是考虑这个图中是否有奇数环，如果不存在奇数环，则图为二分图。具体的判定方法可以使用染色法。

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vector<int> g[N]; // vector 存储图
const int N = 100010;
int color[N]; // 标记每个点的颜色，为 0 表示还未被染色

bool dfs(int u, int c) {
    color[u] = c;
    for (int v: g[u])
        if (color[v] == 0) {
            if (!dfs(v, 3 - u)) return false;
        } else if (color[v] != color[u]) {
            return false;
        }
    return true;
}

// 一边标记为颜色 1，一边标记为颜色 2

bool ans = true;
for (int i = 1; i <= n; ++i) 
    if (color[i] == 0) {
        if (!dfs(i, 1)) {
            ans = false;
            break;
        }
    }

if (ans) puts("This graph is biparite graph.");
else puts("This graph is not biparite graph.");

二分图判定模板题：860. 染色法判定二分图

二分图判定的练习题：257. 关押罪犯

二分图的最大边匹配

对于一个二分图，分为集合 $S$ 和集合 $T$。

选择最多的边，使得这些边对应的点各不相同。

那么解决这个问题的就是匈牙利算法，这也是接下来解决问题的重点算法。

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int match[N];
int st[N];
int g[N][N];

bool hungarian(int i) {
    for (int j = 1; j <= n; ++j) {
        if (g[i][j] && !st[j]) {
            st[j] = true;
            if (match[j] == 0 || hungarian(match[j])) {
                match[j] = i;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
    if (hungarian(i)) res += 1;

printf("二分图的最大边匹配为：%d\n", res);

解释一下上面的几个数组：

g[i][j] 是邻接矩阵存储的图
match[j] 表示 T 中的点 j 匹配边的 $S$ 中的点。
st[j] = true 表示第 j 个点已经被其他人考虑了，暂时不能考虑。

一个例子：如果有边 1-4，1-5，2-4。对应的集合 S = {1, 2}，集合 T = {4, 5}。

首先 S1 与 T4 匹配，接着来考虑 S2 要匹配的点，S2 只能与 T4 匹配，所以考虑 T4 目前匹配的点 S1 是否可以匹配其他边。幸运的是 S1 可以匹配 T5 ，从而把 T4 让出来。

但是我们需要考虑在算法的枚举过程中，如果 st[4] == false ，则在使得 T4 目前匹配的点 S1 考虑其他边时，从小到大，其总会先看到 T4 ，如此陷入一个死循环。
- 一方面限制当前点更换匹配边对应的点不是我们当前选择的这个点
- 另一方面是告诉其他想要拆这个点对应的匹配边的其他点，这里已经考虑过了。如果之前拆分成功，则会一路 return true 退出该函数；如果之前拆分不成功，你这次尝试也不会成功，就别妄想了。

二分图最大边匹配的识别：372. 棋盘覆盖

二分图的最小点覆盖

对于一个二分图，分为集合 $S$ 和集合 $T$。

选择最少的点，使得其可以覆盖所有的边。（覆盖一条边是指，一条边对应两个点，其中至少有一个点被选择）

一个结论：二分图的最大边匹配 = 二分图的最小点覆盖数，懒得证明了。

二分图最小点覆盖的识别：376. 机器任务

二分图的最大独立集与最大团

对于一个图，分为集合 $S$ 和集合 $T$，选择最多的点，但是这些点中任意两个点都不存在一条边，这个点集就是最大独立集。

对于一个图，分为集合 $S$ 和集合 $T$，选择最多的点，使得任意两点之间都存在边，这些点和他们之间的边构成了一个完全图，这个完全图叫作团，选择最多的点满足这个条件，这些点和他们之间的边构成了一个最大团。

在二分图中有一些结论：二分图的最大独立集 = 点数 - 二分图的最小点覆盖。

简单证明下：二分图的最大独立集是指选择最多的点，两两点之间内部不存在边。等价于 “去掉最少的点，将所有边都破坏掉”，即选择最少的点，覆盖所有的边，对应的就是二分图的最小点覆盖。

二分图的最大独立集识别：378. 骑士放置

二分图的最小路径点覆盖和最小路径重复点覆盖

对于一个有向无环图（DAG），二分图的最小路径点覆盖是指找到最少的路径，选择的路径之间不存在交点，使得覆盖所有点。

一个结论：二分图的最小路径点覆盖 = 点数 - 二分图的最大边匹配

简单证明：

假设现在有 5 个点，我们建立如下的图，如果从 1 点有一条向 2 点的边，那么我们在下面这个图中从 1 点向 2’ 点连一条边。对于一个路径来说，其只有一个终点，这个终点没有出边，即对于所有的出点来说，找到所有没有向入点连边的出点，这就是路径数。故我们需要找到最少的出点，等价于我们需要找到尽可能多的出点都有匹配边，即找到最大边匹配，减去这些有匹配边的出点，剩余的没有匹配边的出点就是路径的终点。

二分图的最小路径重复点覆盖，可以通过传递闭包，转换为二分图的最小路径点覆盖。我们现在有路径 x->y->z，但是 x->y 和 y>z 都已经被走过，那么对于这条路径，剩余价值为 x->z 没走过，将这条边加入到图中。而传递闭包就是指：x->y & y->z ==> x->z 即 x->y 以及 y->z 可以推导出 x->z

二分图的最小路径重复点覆盖、二分图的最小路径点覆盖识别

总结

二分图等价于：图中不存在奇数环，等价于染色法不会有矛盾
匈牙利算法求解二分图最大边匹配
二分图的最大边匹配 = 二分图的最小点覆盖 = 二分图总点数 - 二分图的最大独立集 = 点数 - 二分图的最小路径点覆盖

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